皮卡存在唯一性定理

1. 定义：

$Lipschitz$ 条件：

 设$f(x)$是定义在${\mathbb{R}}$上的连续函数，若$\forall x_1 , x_2 \in {\mathbb{R}}$，都存在$L$,使得：

$|f(x_1)-f(x_2)| \leq L|x_1 - x_2|$

则称$f(x)$在${\mathbb{R}}$上满足$Lipschitz$条件

2. 定理内容

 设初值问题：

$(E):\quad\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0$

其中$f(x,y)$在矩形区域：

$|x-x_0| \leq a ,\quad |y-y_0| \leq b$

内连续，且对$y$满足$Lipschitz$条件.则$(E)$在区间$I=[x_0-h,x_0+h]$上有且仅有一个解，其中常数

$h=\mathrm{min}\{a,\dfrac{b}{M}\},而M>\max_{(x,y)\in \mathbb{R}}{|f(x,y)|}$