定义： 我们用 $\sigma(n)$ 表示自然数 $n$ 的所有因子之和，即

$\sigma(n) = \sum_{m|n}{m}$

  (1). 若一个自然数 $n$ , 做素因数分解：$n = p_{1}^{a_1}\cdot\cdot\cdot p_{k}^{a_k}$, 则有

$\sigma(n) = \dfrac{p_{1}^{a_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot\cdot\cdot \dfrac{p_{k}^{a_k+1} - 1}{p_k - 1}$

证明：

  注意到

$\prod_{i=1}^{k} {\sum_{j=0}^{ { {\alpha } _ {i} } } {p_{i}^{j} } } =\sum\limits_{\left( { {j}_{1} },\cdot \cdot \cdot ,{ {j}_{k} } \right)\in \prod_{ i=1 }^{k} {\left( \left[ 0,{ {\alpha }_{i} } \right]\bigcap N \right)} } { p_{1}^{ { {j}_{1} } } \cdot \cdot \cdot p_{k}^{ { {j}_{k} } } }$

  而

$\sigma(n) = \frac{p_{1}^{a_1 + 1} - 1}{p_1 - 1} \cdot\cdot\cdot \frac{p_{k}^{a_k+1} - 1}{p_k - 1} = LHS = PHS = \sigma(n)$

证毕

  (2). 下面给出 $\sigma(n)$ 的一个积分表达

$\sigma(n) = \sum_{m=1}^{n}\int_{0}^{m}\cos{\dfrac{2n\pi[x+1]}{m}}dx$

证明:

  我们考虑求和号里面的式子

  注意到, 利用 Euler 公式, 有

$\sum_{k=1}^{m}\cos{\dfrac{2kn\pi}{m}} = Re\left(\sum_{k=1}^{m}e^{\dfrac{2nk\pi i}{m}}\right)$

  又

$\sum_{k=1}^{m}e^{\dfrac{2nk\pi i}{m}} = \left\{\begin{matrix} \dfrac{e^{\dfrac{2nm\pi i}{m}}-1}{e^{\dfrac{2n\pi i}{m}}-1} = 0,\quad m \nmid n\\ m, \quad m\ |\ n \end{matrix}\right.$

  所以，我们得到

$\sum_{k=1}^{m}\cos{\dfrac{2kn\pi}{m}} = Re\left(\sum_{k=1}^{m}e^{\dfrac{2nk\pi i}{m}}\right) =\left\{\begin{matrix} 0,\quad m \nmid n\\ m, \quad m\ |\ n \end{matrix}\right.$

  回到原式

$RHS = \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\cos{\dfrac{2kn\pi}{m}} = \sum_{m|n}m = \sigma(n) = LHS$

证毕